arctanx泰勒展开(e的arctanx次方)
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(arctanx)'=1/(1+x^2)
=∑(-x^2)^n 【n从0到∞】
=∑(-1)^n·x^(2n) 【n从0到∞】
两边积分，得到
arctanx=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1) 【n从0到∞】
泰勒公式 ：
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
公式推导：
泰勒公式在x=a处展开为
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
继续下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。
另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理
f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间
根据三角函数的定义：y=arcsinx的定义域是[-1,1],值域是[-π/2,π/2]
y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,π]
y=arctanx的定义域是(-∞,+∞),值域是(-π/2,π/2)
y=arccotx的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π)
定义域（domain of definition）指自变量x的取值范围，是函数三要素(定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。

例如：
设x、y是两个变量，变量x的变化范围为D，如果对于每一个数x∈D，变量y遵照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域。
f(x)=∫arctanxdx=x*arctanx-∫xdarctanx
=x*arctanx-∫x/(1+x^2)dx
=x*arctanx-1/2ln(1+x^2)+C
即x*arctanx-1/2ln(1+x^2)+C的导数等于arctanx。 扩展资料
arctanx的导数：y=arctanx，x=tany，dx/dy=secy=tany+1，dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tany+1)=1/(1+x)。
常见的导数：c'=0(c为常数）
(x^a)'=ax^(a-1),a为常数且a≠0
(a^x)'=a^xlna
(e^x)'=e^x
(logax)'=1/(xlna),a>0且 a≠1
(lnx)'=1/x
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=(secx)^2
(secx)'=secxtanx
(cotx)'=-(cscx)^2
(cscx)'=-csxcotx
(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
(arctanx)'=1/(1+x^2)
(arccotx)'=-1/(1+x^2)
(shx)'=chx
(chx)'=shx
（uv)'=uv'+u'v
(u+v)'=u'+v'
(u/)'=(u'v-uv')/^2
x→∞,arctanx → π/2 (2+e)^x →∞ f(x)→0 收敛，(x)=arctanx在定义域内是单调收敛函数 2.f(x)在负无穷到正无穷定义域内单调有界，将积分分成两段来看，第一段是0到1，第二段是1到正无穷。
第一段上，α<=1时，没有瑕点，收敛；因为arctanx/x^α*x^(α-1)=arctanx/x当α趋于0时趋于1，所以当α-1<1，即1<α<2时，收敛；当α-1>=1，即α>=2时发散。所以这一段上α<2时收敛。
第二段上，α<=0时，显然积分发散；因为arctanx/x^α*x^α=arctanx当α趋于无穷大时趋于π/2，所以α>1时收敛，α<=1时发散。所以这一段上α>1时收敛。
手算arctanx可以利用arctanx的展开式,来源于大学中的级数展开知识：^n表示n次方：arctanx=x-(x^3)/3+(x^5)/5-(x^7)/7+...注意,x是弧度!奇偶相间.当x接近0的时候,比如2/37就很小,这个级数收敛的很快.你去前几项就行了...
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